Journées Théorie des
représentations et analyse harmonique MNRS Mars 2009
Résumés des exposés.
S. MERIGNON : Loi de branchement pour les représentations
associées à l'ensemble de Wallach discret.
Pour un
domaine de type tube, l'espace de la repr\'esentation du groupe du domaine (dans sa réalisation non-bornée) associée à un point de l'ensemble de
Wallach discret se réalise comme l'ensemble des fonctions de carré
sommable sur une partie de la frontière du cône, pour une mesure
relativement invariante sous l'action du groupe du cône.
Nous étudions la loi de branchement pour la restriction de cette
représentation à ce groupe : nous donnons un opérateur
d'entrelacement et la formule de Plancherel.
C'est un travail en commun avec H. Seppaenen.
N. PRUDHON: Cohomologie L2 de Dolbeault
pour U(2,1).
We
consider the coset G/L with G=U(2,1) and L=U(1)xU(1,1).
As a complex manifold, G/L has the Dolbeault
complex, and thanks to a choice of a positive (non invariant) metric on
it, we may consider this complex at the L2 level. We will
explain why the cohomology of this L2-complex
is a unitarizable representation of G, and
exhibit the unitary structure geometrically.
M. SLUPINSKI : Syzygie d'Eisenstein associée à
une algèbre de Lie simple munie d'une graduation de type Heisenberg.
(Travail avec R.J. Stanton). Soient k un corps de caractéristique
différente de deux et de trois et P un polynôme homogène de degré
trois sur k2. On peut associer à P une forme quadratique qP et une deuxième cubique GP. En 1844 G. Eisenstein a
montré l'identité
4qP3=GP2-DP2
où D est le discriminant de P. Nous donnerons une
reformulation de cette identité en termes de la géométrie
symplectique des formes binaires cubiques ainsi qu'une identité analogue
associée à toute algèbre de Lie simple muni d'une graduation de type
Heisenberg.
G. TOMASINI : Restriction de modules de poids à des sous-algèbres de Levi et
catégories O.
Dans cet exposé, nous présenterons une classification des modules de
poids satisfaisant une propriété de restriction à des sous-algèbres
de Levi d'une algèbre de Lie simple sur le
corps des nombres complexes. Cette classification permet alors de classer
les modules irréductibles apparaissant dans certaines généralisations de
la catégorie O de Bernstein-Gelfand-Gelfand,
dont nous présenterons également les modules projectifs et un analogue de
la correspondance de Bernstein-Gelfand-Gelfand.
A. UNTERBERGER: From
pseudodifferential analysis to harmonic
analysis and number theory.
This will be a survey. I have finally
arrived at what I consider as the definitive version of quantization (in
this context, covariant symbolic calculus) relative to the discrete
series of SL(2,R): I would
not change a iota
(e.g., the normalization constants) to it, but there is still
considerable work (in progress) to do. The subject can be approached from
pseudodifferential analysis (considering such
an analysis acting on p-flat
functions on the line), from harmonic analysis (working with a
two-component Planck's constant, hence destroying Heisenberg's relation),
from particle physics (a calculus of observables on the initial states of
the free neutrino). It brings to light new concepts, for instance
regarding composition formulas, totally estranged from the more popular
ones. To prevent misconception, though of course higher-rank
generalizations are invited, many interesting problems are still
concerned with SL(2, R). The
most fascinating ones concern
some deep number-theoretic problems which can be phrased in
spectral-theoretic terms involving this
kind of quantization.
